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(寒假总动员)2019年高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(背)

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教育资料
专题 11 立体几何中的向量方法
【背一背】 一、空间向量与*行关系 1.直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线*行或重合的向量,一条直线的方向向量有无数个. 2.*面的法向量 直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做*面 α 的法向量. 3.空间中*行关系的向量表示 (1)线线*行
设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1 ),b=(a2,b2,c2),且 a2b2c2≠0,则 l∥m? a / /b ? a ? ?b
a1 ? b1 ? c1 ? a2 b2 c2 (a2b2c2 ? 0) .
(2)线面*行
设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),*面 α 的法向量为 u=(a2,b 2,c2),则 l∥α? a ? u ? a ?u ? 0 ?
a1a2+b1b2+c1c2=0 .
(3)面面*行
设*面 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1 ),v= ( a2,b2,c2),则 α∥β? u / /v ? u ? ?v ?
a1 ? b1 ? c1 a2 b2 c2 (a2b2c2 ? 0)
空间向量与垂直关系 1.空间垂直关系的向量表示

空间中的垂直关系 线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a =(a1,a2,a3),直线 m 的方向向量为 b=(b1, b2 , b3) , 则 l ⊥ m ?
a ?b_

线面垂直
设直线 l 的方向向量是 a= (a1,b1,c1),*面 α 的法向 量 u=(a2,b2,c2) ,则 l⊥α
? a / /u

面面垂直
若*面 α 的法向量 u=(a1, b1,c1),*面 β 的法向量为 v =(a2,b2,c2),则 α⊥β?
u?v

2.空间中垂直关系的证明方法

线线垂直

线面垂直

面面垂直

①证明两直线的方向向量的数 量积为 0.

①证明直线的方向向量与*面的法向 量是共线向量.

①证明两 个*面的 法向量垂 直.

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②证明两直线所成角为直 角.

②证明直线与*面内的相交直线垂直.

②证明二 面角的* 面角为直 角._.

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空间向量与空间角 1.空间中的角

角的分类 异面直线 所成的角
直线与* 面所成 的角
二面角

向量求法

范围

设两异面直线所成的角为 θ,它们的方向向量

a?b

cos?a,b? ?

为 a,b,则 cos θ=

a?b


??0,π2??

设直线 l 与*面 α 所成的角为 θ,l 的方向向量
为 a,* 面 α 的 法向量为 n, 则 sin θ=
a?n cos?a, n? ?
a?n

??0,π2??

设二面角 α—l—β 的*面角为 θ,*面 α、β 的 法 向 量 为 n1 , n2 , 则 |cos θ| =

cos?n1, n2?

?

n1 ? n2 n1 ? n2

_________

[0,π

解决立体几何问题时,注意求解方法既可以用传统的几何方法解决,又可用向量方法处理,在求直线和* 面所成的角、二面角时,正确求出法向量的坐标是关键,下面总结两种常见的求法向量坐标的方法 ,希望 大家掌握这个一重要技能. 方程法 利用直线与*面垂直的判定定理构造三元一次方程组,由于有三个未知数,两个方程,要设定一个变量的 值才能求解,这是一种基本的方法,容易接受,但运算稍繁,要使法向量简洁,设置可灵活, 法向量有无 数个,它们是共线向量,取一个就可以了. 双 0 速算法 在实际中发现,两个向量的六个坐标中,只要出现 2 个 0,就可以快速求得法向量,而且正确率高,在考试 中作用明显,举例说明

例题:已知向量 a, b 是*面? 内 的两个不共线向量,且 a ? (1, 2, 0) , b ? (3, 0, 4) ,求*面? 的 一个法向


解:先找一个与 a ? (1, 2, 0) 垂直的向量 n ,因为 n ? a ? 0 ,故可先取 n 的 x, y 坐标分别为 2, ?1 ,z 的值待

定,即

n

?

(2,

?1,

z)

,又因为

n

?

b

?

0

,即

6

?

4z

?

0

,所以

z

?

?

3 2

,取

n

?

(2,

?1,

?

3) 2

.

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